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亚里士多德的三段论-第14部分
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唯一正确的代入是对词项变项ａ，ｂ，ｃ，代以其它的词项变项，如以ｂ代ａ。
（ｂ）分离规则：如果Ｃαβ与α都是这系统的断定的表达式，那么β也是断定的表达式。
我采取带有被定义的函子Ｋ的演绎理论的Ｃ—Ｎ系统，作为辅助理论。
命题变项可以代之以三段论的命题表达式，如Ａａｂ，Ｉａｃ，ＫＥｂｃＡａｂ，等等。
在所有以后的证明中（并且也对排斥的表达式）我将只用下面十四条用罗马数字指明的断定命题：Ⅰ。
ＣｐＣｑｐ（简化定律）
Ⅱ。
ＣｑｒＣｐｑＣｐｒ（假言三段论定律、第二个形式）
Ⅲ。
ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ（分配律）
…… 139
２５。三段论系统的基本要素A ７２１
Ⅳ。
ＣｐＣＮｐｑ（邓斯司各脱定律）
WⅤ。
ＣＮｐｐ（克拉维乌斯定律）
Ⅵ。
ＣｐｑＣＮｑＮｐ（易位律）
Ⅶ。
ＣＫｐｑｒＣｐＣｑｒ（输出律）＇奇＋书＋网＇
Ⅷ。
ＣｐＣＫｐｑｒＣｑｒⅨ。
ＣｓｐＣＫｐｑｒＣＫｓｑｒⅩ。
ＣＫｐｑｒＣｓｑＣＫｐｓｒⅪ。
ＣｒｓＣＫｐｑｒＣＫｑｐｓＸＩ。
ＣＫｐｑｒＣＫｐＮｒＮｑＸＩ。
ＣＫｐｑｒＣＫＮｒｑＮｐＸＩＶ。
ＣＫｐＮｑＮｒＣＫｐｒｑ断定命题Ⅷ是输出律的一个形式，断定命题Ⅸ—Ⅺ都是复合的假言三段论定律，而Ⅻ—是复杂的易位律。
所有这些，用第２３节所说的０—１方法，都是易于验证的。
断定命题Ⅳ、Ⅴ与Ⅱ、Ⅲ一起给出全部Ｃ—Ｎ系统，但Ⅳ、Ⅴ只是对排斥的表达式的证明才是需要的。
公理１—４的系统是一致的，也就是说是无矛盾的。
无矛盾性的最容易的证明是把词项变项当作命题变项，以及把函项Ａ和Ｉ定义为常真（即令Ａａｂ＝Ｉａｂ＝ＫＣａＣｂ）
而作出的。
于是公理１—４作为演绎理论的断定命题都是真的，而且已知这演绎理论是无矛盾的，所以三段论系统也是无矛盾的。
我们系统的所有公理都是彼此独立的。
这一点的证明可以用演绎理论范围内的解释来作出。
在后面的解释中，词项变项作为命题变项处理。
公理１的独立性：取Ｋ代替Ａ，取Ｃ代替Ｉ，公理１就不
…… 140
８２１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
能确证了，因为Ａａ＝Ｋａ，而Ｋａａ在ａ０时，得出０。
如同用＇０—１方法所能看出的那样，其它公理均可确证。
公理２的独立性：取Ｃ代替Ａ，与Ｋ代替Ｉ，公理２就不能确证了，因为Ｉａ＝Ｋａ。
其它公理均可确证。
公理４的独立性：取Ｃ代替Ａ与Ｉ，公理４就不能确证了，因为ＣＫＡｂｃＩｂａＩａｃ＝ＣＫＣｂｃＣｂａＣａｃ在ｂ０，ａ１，ｃ０时，它＇ ＇ ＇得出０其它均可确证。
公理３的独立性：在只有０与１二值的演绎理论的基础上证明这条公理的独立性是不可能的。
我们必须引入第三个真值，令其为２，它可看作是代表真，亦即１的另一个符号。
对于第２３节所作出的Ｃ，Ｎ和Ｋ的诸等值式，我们还要加上下面这些公式：Ｃ０２＝Ｃ１２＝Ｃ２１＝Ｃ２＝１。
Ｃ２０＝０，Ｎ２＝０，Ｋ０２＝Ｋ２０＝０，Ｋ１２＝Ｋ２１＝Ｋ２＝１。
在这些条件下，所有Ｃ—Ｎ系统的断定命题都可确证，这能很容易地表明。
让我们现在把Ｉａｂ定义为常真的函项，亦即对于ａ与ｂ的所有的值而言，Ｉａｂ＝１，而把Ａａｂ定义为具有以下诸值的函项：Ａａ＝１，Ａ０１＝Ａ１２＝１，以及Ａ０２＝０（其余均无关）。
公理１，２与４都可确证，但从公理３用代入ｂ１，ｃ２，ａ０我们得＇到：ＣＫＡ１２Ａ０１Ａ０２＝ＣＫ１０＝Ｃ１０＝０。
用在自然数域的解释来作独立性的证明也是可能的。
例如，我们要证明公理３独立于其余公理，我们能够把Ａａｂ定义为ａ＋１ｂ，而把Ｉａｂ定义为ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，Ｉａｂ是常真的，因而，
…… 141
２６。三段论的断定命题的推导A ９２１
公理２与４确证了，公理１也确证了，因为ａ＋１总是不同于ａ的。
但公理３，即“如果ｂ＋１ｃ并且ａ＋１ｂ，则ａ＋１Ｃ”
a就不能确证。
取３替ａ，２替ｂ，以及４替ｃ，则前提将会是真的，而结论是假的。
从以上的独立性证明得出：没有三段论的单个的公理或“原则”。
１—４这四条公理可以机械地用“并且”
这个字联结成为一个命题，但是它们在这个没有有机联系的合取式中，仍然保留着差别而并不代表一个单个的观念。
２６。三段论的断定命题的推导A用我们的推论规则以及借助于演绎理论从公理１—４我们能够引出亚里士多德逻辑的所有断定命题。
我希望在作了前面几节的解释之后，以后的证明就会是完全可以理解的。
在所有三段论的式中，大项用ｃ表示，中项用ｂ表示，小项用ａ表示。
大前提首先陈述，以便易于将公式与各式的传统名称相比较①。
Ａ。换位定律Ⅶ。
ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ４—５＇ ＇ ＇５。
ＣＡｂｃＣＩｂａＩａｃ５。
ｂａ，ｃａ，ａｂ×Ｃ１—６＇①在１９２９年出版的我的波兰文教科书《数理逻辑初步》（Ｅｌｅｍｅｎｔｓ
ｏｆ
ｍａｔｈｅ－ｍａｔｉｃａｌｏｇｉｃ）
（见第６２页，注①）中，我第一次表明已知的三段论的断定命题怎样可以从公理１—４形式地推出（第１８０—１９０页）。
在上述教科书中说明的方法，由Ｉ。
Ｍ。
波亨斯基教授在他的论文“论直言三段论”
中稍作修改后加以采纳。
见《多明尼卡研究》（Ｄｏｍｉｎｉｃａｎ
ｓｔｕｄｉｅｓ）卷ｉ，牛津１９４８年版。
…… 142
０３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
６。
ＣＩａｂＩｂａ（Ｉ前提的换位律）
Ⅲ。
ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ５７＇ C７。
ＣＩｂａＣＡｂｃＩａｃ７。
ｂａ，ｃｂ×Ｃ２—８＇８。
ＣＡａｂＩａｂ（肯定前提的从属律）
Ⅱ。
ｑＩａｂ，ｒＩｂａ×Ｃ６—９＇ ＇９。
ＣｐＩａｂＣｐＩｂａ９。
ｐＡａｂ×Ｃ８—１０＇１０。
ＣＡａｂＩｂａ（Ａ前提的换位律）
６。
ａｂ，ｂａ×１＇１。
ＣＩｂａＩａｂⅥ。
ｐＩｂａ，ｑＩａｂ×Ｃ１—１２＇ ＇１２。
ＣＮＩａｂＮＩｂａ１２。
ＲＥ×１３１３。
ＣＥａｂＥｂａ（Ｅ前提的换位律）
Ⅵ。
ｐＡａｂ，ｑＩａｂ×Ｃ８—１４＇ ＇１４。
ＣＮＩａｂＮＡａｂ１４。
ＲＥ，ＲＯ×１５１５。
ＣＥａｂＯａｂ（否定前提的从属律）
Ｂ。肯定式Ⅹ。
ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ４—１６＇１６。
ＣｓＩｂａＣＫＡｂｃｓＩａｃ１６。
ｓＩａｂ×Ｃ６—１７＇１７。
ＣＫＡｂｃＩａｂＩａｃ（Ｄａｒｉ）
１６。
ｓＡａｂ×Ｃ１０—１８＇
…… 143
２６。三段论的断定命题的推导A １３１
１８。
ＣＫＡｂｃＡａｂＩａｃ（Ｂａｒｂａｒｉ）
８。
ａｂ，ｂａ×１９＇１９。
ＣＡｂａＩｂａ１６。
ｓＡｂａ×Ｃ１９—２０＇２０。
ＣＫＡｂｃＡｂａＩａｃ（Ｄａｒａｐｔｉ）
Ⅺ。
ｒＩｂａ，ｓＩａｂ×Ｃ１—２１＇ ＇２１。
ＣＫｐｑＩｂａＣＫｑｐＩａｂ４。
ｃａ，ａｃ×２＇２。
ＣＫＡｂａＩｂｃＩｃａ２１。
ｐＡｂａ，ｑＩｂｃ，ｂｃ×Ｃ２—２３＇２３。
ＣＫＩｂｃＡｂａＩａｃ（Ｄｉｓａｍｉｓ）
１７。
ｃａ，ａｃ×２４＇ ＇２４。
ＣＫＡｂａＩｃｂＩｃａ２１。
ｐＡｂａ，ｑＩｃｂ，ｂｃ×Ｃ２４—２５＇２５。
ＣＫＩｃｂＡｂａＩａｃ（Ｄｉｍａｒｉｓ）
１８。
ｃａ，ａｃ×２６＇ ＇２６。
ＣＫＡｂａＡｃｂＩｃａ２１。
ｐＡｂａ，ｑＡｃｂ，ｂｃ×Ｃ２６—２７＇ ＇ ＇２７。
ＣＫＡｃｂＡｂａＩａｃ（Ｂｒａｍａｎｔｉｐ）
Ｃ。否定式
ＸＩ。
ｐＩｂｃ，ｑＡｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ２３—２８＇２８。
ＣＫＮＩａｃＡｂａＮＩｂｃ２８。
ＲＥ×２９２９。
ＣＫＥａｃＡｂａＥｂｃ２９。
ａｂ，ｂａ×３０＇
…… 144
２３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
３０。
ＣＫＥｂｃＡａｂＥａｃ（Ｃｅｌａｒｅｎｔ）
Ⅸ。
ｓＥａｂ，ｐＥｂａ×Ｃ１３—３１＇３１。
ＣＫＥｂａｑｒＣＫＥａｂｑｒ３１。
ａｃ，ｑＡａｂ，ｒＥａｃ×Ｃ３０—３２＇３２。
ＣＫＥｃｂＡａｂＥａｃ（Ｃｅｓａｒｅ）
Ⅺ。
ｒＥａｂ，ｓＥｂａ×Ｃ１３—３３＇ ＇３。
ＣＫｐｑＥａｂＣＫｑｐＥｂａ３２。
ｃａ，ａｃ×３４＇３４。
ＣＫＥａｂＡｃｂＥｃａ３。
ｐＥａｂ，ｑＡｃｂ，ａｃ，ｂａ×Ｃ３４—３５＇３５。
ＣＫＡｃｂＥａｂＥａｃ（Ｃａｍｅｓｔｒｅｓ）
３０。
ｃａ，ａｃ×３６＇ ＇３６。
ＣＫＥｂａＡｃｂＥｃａ３。
ｐＥｂａ，ｑＡｃｂ，ａｃ，ｂａ×Ｃ３６—３７＇３７。
ＣＫＡｃｂＥｂａＥａｃ（Ｃａｍｅｎｅｓ）
Ⅱ。
ｑＥａｂ，ｒＯａｂ×Ｃ１５—３８＇ ＇３８。
ＣｐＥａｂＣｐＯａｂ３８。
ｐＫＥｂｃＡａｂ，ｂｃ×Ｃ３０—３９＇ ＇３９。
ＣＫＥｂｃＡａｂＯａｃ（Ｃｅｌａｒｏｎｔ）
３８。
ｐＫＥｃｂＡａｂ，ｂｃ×Ｃ３２—４０＇４０。
ＣＫＥｃｂＡａｂＯａｃ（Ｃｅｓａｒｏ）
３８。
ｐＫＡｃｂＥａｂ，ｂｃ×Ｃ３５—４１＇ ＇４１。
ＣＫＡｃｂＥａｂＯａｃ（Ｃａｍｅｓｔｒｏｐ）
３８。
ｐＫＡｃｂＥｂａ，ｂｃ×Ｃ３７—４２＇４２。
ＣＫＡｃｂＥｂａＯａｃ（Ｃａｍｅｎｏｐ）
…… 145
２６。三段论的断定命题的推导A ３３１
ＸＩ。
ｐＡｂｃ，ｑＩｂａ，ｒＩａｃ×Ｃ５—４３＇４３。
ＣＫＮＩａｃＩｂａＮＡｂｃ４３。
ＲＥ，ＲＯ×４。
ＣＫＥａｃＩｂａＯｂｃ４。
ａｂ，ｂａ×４５＇ ＇４５。
ＣＫＥｂｃＩａｂＯａｃ（Ｆｅｒｉｏ）
３１。
ａｃ，ｑＩａｂ，ｒＯａｃ×Ｃ４５—４６＇４６。
ＣＫＥｃｂＩａｂＯａｃ（Ｆｅｓｔｉｎｏ）
Ⅹ。
ｐＥｂｃ，ｑＩａｂ，ｒＯａｃ×Ｃ４５—４７＇４７。
ＣｓＩａｂＣＫＥｂｃｓＯａｃ４７。
ｓＩｂａ×Ｃ１—４８＇４８。
ＣＫＥｂｃＩｂａＯａｃ（Ｆｅｒｉｓｏｎ）
３１。
ａｃ，ｑＩｂａ，ｒＯａｃ×Ｃ４８—４９＇４９。
ＣＫＥｃｂＩｂａＯａｃ（Ｆｒｅｓｉｓｏｎ）
１０。
ａｂ，ｂａ×５０＇５０。
ＣＡｂａＩａｂ４７。
ｓＡｂａ×Ｃ５０—５１＇５１。
ＣＫＥｂｃＡｂａＯａｃ（Ｆｅｌａｐｔｏｎ）
３１。
ａｃ，ｑＡｂａ，ｒＯａｃ×Ｃ５１—５２＇ ＇ ＇５２。
ＣＫＥｃｂＡｂａＯａｃ（Ｆｅｓａｐｏ）
作为所有这些推导的一个结果，一个显著的事实值得我们注意：有二十个三段论的式勿需使用公理３，即Ｂａｒｂａｒａ式，就可能推导出来。
甚至Ｂａｒｂａｒｉ也可以不用Ｂａｒｂａｒａ式而得到证明。
公理３是三段论系统的最重要的断定命题，因为它是唯一能产生全称肯定结论的三段论，但在简单三段论系统中它
…… 146
４３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
只有次等的地位，只有在证明Ｂａｒｏｃｏ与Ｂｏｃａｒｄｏ式时，才是必需的。
以下就是这两个证明：Ⅻ。
ｐＡｂｃ，ｑＡａｂ，ｒＡａｃ×Ｃ３—５３＇５３。
ＣＫＡｂｃＮＡａｃＮＡａｂ５３。
ＲＯ×５４５４。
ＣＫＡｂｃＯａｃＯａｂ５４。
ｂｃ，ｃｂ×５＇５。
ＣＫＡｃｂＯａｂＯａｃ（Ｂａｒｏｃｏ）
ＸＩ。
ｐＡｂｃ，ｑＡａｂ，ｒＡａｃ×Ｃ３—５６＇５６。
ＣＫＮＡａｃＡａｂＮＡｂｃ５６。
ＲＯ×５７５７。
ＣＫＯａｃＡａｂＯｂｃ５７。
ａｂ，ｂａ×５８＇５８。
ＣＫＯｂｃＡｂａＯａｃ（Ｂｏｃａｒｄｏ）
２７。排斥的表达式的公理和规则A关于断定一个命题和排斥一个命题这两种智力活动，①
现代形式逻辑只就第一种加以考虑。
弗莱格把断定的概念和断定符号（）引进了逻辑，它们在以后又得到《数学原b理》的作者们的承认。
然而，就我所知，排斥的概念，从过去到现在一直都被忽略了。
我们断定真命题而排斥假命题。
只有真命题才能加以断
①我把这个区别归功于弗朗茨布伦塔诺（Ｆｒａｎｚ
Ｂｒｅｎｔａｎｏ）
，他把信赖的W活动描述为承认（ａｎｅｒｋｅｎｅｎ）与排斥（ｖｅｒｗｅｒｆｅｎ）。
…… 147
２７。排斥的表达式的公理和规则A ５３１
定，因为断定一个原来不真的命题就是一个错误。
关于排斥则不能作类似性质的断定：并非只有假命题才应加以排斥。
每一个命题或真或假，这当然是真的，但也有既不真也不假的命题表达式。
所谓命题函项就是属于这一类的。
命题函项就是包含着自由变项的表达式，对于它们的有些值而言，它可以成为真的，而对于另外一些值而言，它可以成为假的。
以ｐ这个命题变项为例，它既不是真的，也不是假的，因为，对ｐ１它＇就成为真的，而对ｐ０它就成为假的了。
现在，关于两个矛盾＇命题，ａ与非ａ，一个必定是真的而另一个必是假的，所以一个应当被断定而另一个应被排斥。
但是两个矛盾的命题函项ｐ与Ｎｐ中的任何一个都不能加以断定，因为它们之中的任何一个都不是真的；它们两者都要被排斥。
被亚里士多德排斥的三段论形式都不是命题而是命题函项。
让我们举一个例子。
亚里士多德说，在第一格中当第一个词项属于所有中项，而不属于任何最后的词项时，就不会出现任何三段论。
所以这个三段论形式：（ｉ）ＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ没有被他作为正确的三段论来断定，而是加以排斥。
亚里士多德本人提出具体的词项来反驳上述形式：用“人”代ｂ，“动物”代ｃ，以及“石头”代ａ。
但还有其它的值使得公式（ｉ）能被确证：把变项ａ与ｃ等同起来我们就可以得到一个真蕴涵式ＣＫＡｂａＥａｂＩａ，因为它的前提是假的而其后件是真的。
公式（ｉ）的否定：（ｊ）ＮＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ因此也必须被排斥，因为对于ｃａ它是假的。
＇
…… 148
６３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
把量词引入这个系统我们就能勿需要排斥。
我们能够断定下面的断定命题以代替对形式（ｉ）的排斥。
（ｋ）ａｂｃＮＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ。
^这个就是说：有词项ａ，ｂ和ｃ确证（ｉ）的否定。
所以，（ｉ）这形式对于所有ａ，ｂ和ｃ不是真的，而且不能是正确的三段论。
同样，代替对表达式（ｊ）的排斥，我们可以断定这个断定命题：（１）ａｂｃＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ^但亚里士多德不知道有关量词的任何东西；他使用排斥来代替将带量词的新断定命题加在他的系统中。
因为，排斥似乎是比量化较为简单的概念，让我们随着亚里士多德的步骤来考察。
亚里士多德排斥绝大多数的不正确的三段论形式都是用具体词项来举例说明。
这是我们唯一不能追随他的地方，因为我们不能把像“人”或“动物”这样的具体词项引入逻辑中来。
有些形式必须公理地加以排斥。
我曾发现①如果我们公理地排斥第二格的以下两个式：ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ，那么借助于两条排斥的规则也可以排斥所有其它不正确的三段论形式：（ｃ）排斥的分离规则：如果蕴涵式“如果α，则β”被断定了，但后件β被排斥，那么前件α必定也要被排
①见第２０节。
…… 149
２７。排斥的表达式的公理和规则A ７３１
斥。
（ｄ）
排斥的代入规则：如果β是α的一个代入，而且β被排斥了，那么α也必定要被排斥。
两条规则都是十分明显的。
三段论形式的数目一共是４×４３＝２５６；２４个形式是正确的三段论，２个形式是公理地排斥了的。
证明其余２３０个不正确的形式都可以用我们的公理和规则来排斥，那将是冗长而可厌的。
我将只用带有前提Ａｂｃ和Ｅａｂ的第一格三段论形式的例子来表明，我们的排斥规则如何在第一条排斥的公理的基础上进行证明。
排斥的表达式我用一个星号加在它们的序数之前来表示。
这样，我们有：
P５９。
ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ（公理）
P５９ａ。
ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ（公理）
Ｉ。
ｐＩａｃ，ｑＫＡｃｂＡａｂ×６０＇ ＇６０。
ＣＩａｃＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ６０×ＣP６１—P５９P６１。
Ｉａｃ这里第一次应用了排斥的分离规则。
断定的蕴涵式６０有一个排斥的后件，P５９；所以它的前件，P６１，必定也被排斥。
用同样的方法我得到排斥的表达式P６４，P６７，P７１，P７４，和P７。
Ⅴ。
ｐＩａｃ×６２＇６２。
ＣＮＩａｃＩａｃＩａｃ６２。
ＲＥ×６３
…… 150
８３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
６３。
ＣＥａｃＩａｃＩａｃ６３×ＣP６４—P６１P６４ＣＥａｃＩａｃ１。
ａｃ×６５＇６５。
ＡｃⅧ。
ｐＡｃ，ｑＥａｃ，ｒＩａｃ×Ｃ６５—６６＇ ＇ ＇６。
ＣＫＡｃＥａｃＩａｃＣＥａｃＩａｃ６×ＣP６７—P６４P６７。
ＣＫＡｃＥａｃＩａｃ
P６７×P６８。
ｂｃ＇ P６８。
ＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ这�
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