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亚里士多德的三段论-第24部分

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    ,也就是说,不存在真的偶然命题Tα,如果Tp是像亚里士多德所作的那样,定义为Mp和MNp的合取,即80。

    CδKMpMNpδTp。

    这个结果用真值表的方法得到证实。

    采用Kpq号的通常定义:81。

    CδNCpNqδKpq,我们得出关于K的真值表M14,并且我们有:

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    52。偶然性和模态逻辑的四值系统A                                                                    542

    当p=1:KMpMNp=KM1MN1=K1M0=K13=3当p=2:KMpMNp=KM2MN2=K1M3=K13=3当p=3:KMpMNp=KM3MN3=K3M2=K31=3当p=0:KMpMNp=KM0MN0=K3M1=K31=3。

    我们看到,合取式KMpMNp具有恒值3,因而永远都不是真的。

    因此,Tp=3,也就是说,不存在在定义80所指意义上的真的偶然命题。

    然而,亚里士多德认为“明天可能发生海战”和“明天可能不发生海战”

    两个命题今天可以都是真的。

    因此,按照他的偶然性观点,是可以有真的偶然命题的。

    有两个方法可以避免亚里士多德的观点和我们的模态逻辑系统之间的这种矛盾:我们应当或者否定命题可以同时既是偶然的又是真的,或者修改亚里士多德的偶然性定义。

    我选择了第二个方法,使用了上面所揭示的可能性成对的形态。

    抛掷一个钱币,可以落下或者钱币的正面或者钱币的反面,换句话说,可能落下正面,也可能不落下正面。

    我们倾向于将两个命题都看作是真的。

    但是,如果第一个“可能性”用与第二个可能性相同的函子去标志的话,它们就不能两个都

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    642第七章 模态逻辑系统

    真。

    第一个可能性是与第二个可能性完全相同的,但是,从这里不应得出,它就应该用同样的方式去标志。

    落下正面的可能性与不落下正面的可能性是有区别的。

    我们可以用M标志一个可能性,而用W标志另一个可能性。

    带有肯定主目的命题“p是可能的”

    可以表达为Mp;带有否定主目的命题“非p是可能的”可以表达为WNp;或者第一个作为Wp,第二个作为MNp。

    这样,我们就获得两个偶然性函子,譬如说是X和,它们的定义如下:e82。

    CδKMpWNpδXp和83。

    CδKWpMNpδp。

    e不可能将这些定义译成日常的语言,因为我们没有两类可能性和偶然性的名称。

    我们就将它们称为“M-可能的”和“W-可能的”

    ,“X-偶然的”和“-偶然的”。

    这样,我们就e可以概略地说:“p是X-偶然的”表示“p是M-可能的并且Np是W-可能的”

    ,而“p是-偶然的”表示“p是We-可能的并且Np是M-可能的”。

    从定义82和83,我们可以推出X和γ的真值表。

    我们得出:当p=1:X1=KM1WN1=K1W0=K12=2;1=KW1MN1=K1M0=K13=3。

    e当p=2:X2=KM2WN2=K1W3=K1=1;2=KW2MN2=K2M3=K23=0。

    e当p=3:X3=KM3WN3=K3W2=K32=0;

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    52。偶然性和模态逻辑的四值系统A                                                                          742

    3=KW3MN3=K1M2=K1=1。

    e当p=0:X0=KM0WN0=K3W1=K31=3;0=KW0MN0=K2M1=K21=2。

    e真值表M15表明,不论是Xp还是p,对于p的某些值证明是e真的(Xp,当p=2;p,当p=3)。

    现在已经证明,KMpMNpe具有恒值3;同样可以表明,KWpWNp具有恒值2。

    这样,我们就得到两个断定的公式:84。

    XKWpWNp和85。KMpMNp。

    e这表明在我们的系统中存在真的X-偶然命题和真的-偶e然命题。

    我们就可以将在亚里士多德意义上的偶然性和我们的四值模态逻辑协调起来。

    从M15也得出,X-偶然性和-偶然性是孪生子。

    如果e我们在M15中用3代替2,用2代替3,那末,X就变成,而e变成X。

    然而,X跟是有区别的,其区别的程度比M和We的区别更大,因为命题Xp和p是相互矛盾的。

    容易看到,借e助于M15,下述等式是成立的:(γ)Xp=Np=Np和 (δ)p=XNp=NXp。

    e

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    842第七章 模态逻辑系统

    矛盾律和排中律对Xp和p都是真的,也就是说,我们有:e86。

    NKXpp和87。

    HXpp。

    e这表示,一个命题不能同时既是X-偶然的又是-偶然的,e而任何命题或者是X-偶然的,或者是-偶然的。

    X-偶然e命题的否定是-偶然命题,反过来,-偶然命题的否定是e                                                eX-偶然命题。

    这听起来好像是自相矛盾的,因为我们习惯于认为:那种非偶然的东西,或者是不可能的,或者是必然的,不可能和必然是与同一种可能性发生联系的。

    但是,非X-偶然的,或者是M-不可能的,或者是M-必然的,这种说法是不正确的;应该说,那种非X-偶然的东西,或者是M-不可能的,或者是W-必然的,而那种或者M-不可能、或者W-必然的东西是与-偶然的东西等值的。

    e同样的误解是由于围绕断定命题8进行的争论而引起的,

    8。

    CKMpMqMKpq,它在我们系统中是被断定的。

    刘易士(C。

    I。

    Lewis)在他某些模态系统中断定了公式:89。

    CMKpqKMpMq,但是拒绝了它的逆换式,即8式。

    他使用了下述论证①:“如果p和q两个都真,是可能的,那末,p是可能的并且q是可能的。

    这个蕴涵式不能逆换过来。

    例如,可能读者将立即看到它,也可能他不立即看到它。

    但是,不可能他既立即看到它又不立即看到它“。

    这个论证是缺少说服力的。

    这里“读者”

    指的是什

    ①刘易士和朗佛(C。

    H。

    L。

    Langford)

    :《符号逻辑》,(Symbolic

    Logic)

    ,纽约和伦敦,1932年版,第167页。

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    52。偶然性和模态逻辑的四值系统A                                                             942

    么呢?

    如果指的是个别读者,如R,那末,或者R将立即看到这个,或者R将不立即看到这个。

    在前一种情况下,第一个前提“可能R立即看到这个”

    是真的,但第二个前提是假的,而一个假的命题怎样可以成为可能真的命题呢?

    在后一种情况下,第二个前提是真的,而第一个前提是假的,而一个假的命题不能成为可能真的命题。

    公式8中的两个前提并不是两个都可证明的,因而用这种方式是不能驳斥这个公式的。

    而如果“读者”一词指的是某些读者,那末,“可能某些读者将立即看到这个”和“可能某些读者将不立即看到这个”这两个前提可以都是真的,但是,在这种情况下,“可能某些读者将立即看到这个并且某些读者将不立即看到这个”

    这个结论显然也是真的。

    自然,将立即看到这个并且不看到这个的不会是同一读者。

    刘易士所提出的例子并没有驳斥掉公式8,相反,它还证明了它的正确性。

    但是,看来这个例子是选择得不适当的。

    前提增加了“立即”一词,就丧失了它的偶然的性质。

    说读者将“立即”看到或者不看到这个,我们涉及的是那在看见的时刻被决定的东西。

    而真的偶然性涉及的是未决定的事件。

    让我们就举钱币的例子,它与亚里士多德的海战的例子是同一类的。

    两个例子都是关系到现在没有决定但将来要决定的事件。

    所以,“可能落下钱币的正面”和“可能不落下钱币的正面”这两个前提现在可以都是真的,而“可能落下又不落下钱币的正面”这个结论任何时候都不是真的。

    但是,我们知道,偶然性不能用Mp和MNp的合取来下定义,但可以用Mp和WNp,或者Wp和MNp的合取来下定义,因此,上面引述的例子就不属

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    052第七章 模态逻辑系统

    于断定命题8。

    所以,它不能否证它。

    这一点是为刘易士和其他逻辑学家所不知道的,而在一个错误的偶然性概念的基础上,他们就排斥了所讨论的断定命题。

    53。其他某些问题A虽然我们的四值模态逻辑系统的公理和推论规则是十分显然的,但这个系统的某些结论却可能看起来是自相矛盾的。

    我们已经遇到自相矛盾的断定命题:偶然命题的否定仍然是偶然的;作为这一类的另一个断定命题,我可以提出“双重偶然性”定律,按照这个定律,下述公式是真的:90。

    QpXp和91。

    Qpp。

    e问题在于去发现关于这样公式的某些解释,这些解释从直观上说是可满足的,并且能解释它们表面上的奇异。

    当古典命题演算刚刚为人所知的时候,也出现过对它的某些原则,特别是对CpCqp和CpCNpq的激烈的反对。

    这些原则具体地表现了中世纪的逻辑学家所熟悉的、并且为他们用下述语句表述出的两个逻辑定律。

    语句是:“Verumsequitur

    ad

    quodliCbet和Ad

    falsumsequitur

    quod-libet“

    ①。

    就我所知,这些原则现在已经是众所周知的了。

    无论如何,我们的模态系统在这一方面不会比其他的模态逻辑系统处于更坏的地位。

    在某些模态逻辑系统中包含有这样非直观的公式,如:

    P92。

    QMNMpNMp,

    ①真理随便从什么东西都能推出;从谬误推出所有任意的东西。

…… 263

    53。其他某些问题A                                                          152

    这里,一个或然命题“p不可能,这是可能的”与一个必然命题“p是不可能的”等值。

    代替这个必须加以排斥的奇怪的公式,在我们的系统中,我们有这样的断定命题:93。

    QMNMpMNp它和94。

    QMMpMp一起,使我们可能将所有由M和N组成的模态函子的组合化归为四个不能再行化归的、为亚里士多德已知的组合式,即M=可能,NM=不可能,MN=不必然和NMN=必然。

    第二个问题关系到将四值模态逻辑扩充到更高系统中的问题。

    可以用八值系统作为例子。

    我们通过将真值表M9和真值表M1相乘而得出这个系统的真值表M16。

    我们规定这些成对的值作为新的真值表中的元素:(1,1)

    =1,(1,0)

    =2,(2,1)=3,(2,0)=4,(3,1)=5,(3,0)=6,(0,1)=7,(0,0)=0,另外按照(y)

    ,(z)和(α)这些等式规定C,N和M的真值。

…… 264

    252第七章 模态逻辑系统

    数字1象通常一样,标志真,0标志假,而其他的数字则是真和假之间的中间值。

    如果我们注意考察真值表M16,我们就会发现,C栏的第二行与M栏是相同的。

    这一行因而代表可能性的真值表。

    同样,C的其余各行,除了第一行与最后一行以外,都代表某种可能性。

    如果我们用M2到M7去标志它们,我们就能肯定:当2≤i≤7时,Mi满足可能性的全部公理,即:95。

    CpMip,P96。

    CMip,P97。

    Mip。

    在这些不同种类的可能性中,有某些“较强一些”和某些“较弱一些”

    ,因为我们有,例如:CM2pM4p或者,CM3pM6p,但是不能反转过来。

    所以,我们可以说,在八值模态逻辑中存在各种等级的可能性。

    我总是认为,只有两个模态系统可能具有哲学和科学的重要性:最简单的模态系统,其中可能性看作不具有等级,这就是我们的四值模态系统,和值系统,其中有无限多的可能性的等级。

    进一步研究这个问题将是有趣的,因为我们可能在这里发现模态逻辑和概率论之间的联系环节。

…… 265

    第八章 亚里士多德的模态三段论

    我认为,亚里士多德的模态三段论跟他的实然三段论或者他在模态命题逻辑方面的贡献相比,意义要小得多。

    这系统看来好似一个逻辑练习,它虽然表面上很精密,却充满了粗心的错误,并且对科学问题没有任何适用之处。

    虽然如此,在这个三段论中却有两个争论问题主要由于历史的原因而有研究的价值,这就是关于带有一个实然前提和一个必然前提的三段论问题,和关于带有偶然前提的三段论问题。

    54。有两个必然前提的各式A亚里士多德是模仿他的实然三段论的样子来论述模态三段论的。

    三段论划分为各种格和式,有些式被当作完全的式,这些式作为自明的而无需证明;不完全的式则通过换位法,归谬法或者通过所谓“显示法”

    而得到证明。

    不正确的式则通过用具体词项加以说明的方法而予以排斥。

    奇怪的是,只有一个例外,亚里士多德没有使用他的模态命题逻辑的定理。

    我们将看到,在某些情况下这会得出比他所作的证明更好并且更简单的证明。

    必然命题的换位律和实然命题的换位律相类似。

    下述一些命题因此是真的:“如果必然任何b都不是a,那么必然任

…… 266

    452第八章 亚里士多德的模态三段论

    何a都不是b“

    ,用符号表达:98。

    CLEbaLEab,和“如果必然所有的b或者有些b是a,那末必然有些a是b”

    ,用符号表达:9。

    CLAbaLIab和10。

    CLIbaLIab①。

    亚里士多德所作的证明是不能令人满意的②。

    他没有注意到,定律98—10可以从实然三段论类似的定律借助于定理18直接推出。

    18。

    CpqCLpLq。

    例如,从18式,用Eba替代p,用Eab替代q,我们在前件中得出实然的换位律,由此我们可以分离出它的后件,即定律98。

    按照亚里士多德的意见,带有两个必然前提的三段论,除了对前提和结论都必须加上必然性记号以外,其余跟实然三段论都相同③。

    因此,关于Barbara式的公式将表述为:101。

    CKLAbaLAcbLAca。

    亚里士多德默然承认了,第一格的各式是完全的并且是不需

    ①《前分析篇》,i。

    3,25a29“……如果A必然不属于任何B,那末,B必然也不属于任何A。”

    25a32,“如果A必然属于所有的或有些B,那末,B也必然属于有些A。”

    ②参阅A。贝克尔,《亚里士多德的可能性推论的学说》,第90页。

    ③《前分析篇》,i。

    8,29a35,“必然〔属于〕跟属于的情形几乎完全一样,因为,在〔前提中〕‘属于’和‘必然属于或不属于’对词项位置相同的情况下,得出和不得出的三段论仅仅具有这样的区别:给词项加上‘必然属于’或者‘必然不属于’”。

…… 267

    5。有一个必然前提和一个实然前提的各式A                                                                                     552

    要证明的。

    其他各格的各种式是不完全的,除了Baroco和

    Bocardo式以外,都需要按照对实然三段论的证明方法予以证明。

    Baroco和Bocardo两个式在实然三段论中是用归谬法证明的,而这里须要用显示法加以证明①。

    我们再一次指出:对所有这些证明,运用定理18要容易得多,这将在以后的例子中看出。

    通过输出律和输入律CCKpqrCpCqr和CCpCqrCKpqr,可以表明15式,即实然的Barbara式与公式102。

    CAba

    CAcbAca,等值。

    这个纯粹的蕴涵形式比合取形式更便于推出结论。

    按照断定命题3。

    CLp,我们有:103。

    CLAbaAba,而从103和102借助于假言三段论,我们得出:104。

    CtAbaCAcbAca。

    而另一方面,由于替代18式的结果,我们有105。

    CAcbAcaCLAcbLAca,而从104和105推出结论:106。

    CLAbaCLAcbLAca它与101等值。

    所有其余的带有两个必然前提的三段论的各式都可以用这样的方法加以证明,而不需要新的公理、换位律、归谬法,或者使用显示法的论证。

    ①《前分析篇》,i。

    8,30a3—14。

…… 268

    652第八章 亚里士多德的模态三段论

    5。有一个必然前提和一个实然前提的各式①A对带有一个必然前提和一个实然前提的第一格的三段论各式,亚里士多德是按照哪一个前提(大前提还是小前提)

    是必然前提而分别加以论述的。

    他说,当大前提是必然的,而小前提是实然的,我们就得出一个必然的结论;但是,当小前提是必然的,而大前提是实然的,我们就可能得出一个实然的结论②。

    这种区别借助于下述一些Barbara式的例子就显得很清楚。

    亚里士多德断定了三段论:“如果必然所有的b是a,那末,如果所有的c是b,则必然所有的c是a”。

    但是,他排斥了三段论:“如果所有的b是a,那末,如果必然所有的c是b,则必然所有的c是a”。

    用符号表达:(∈)CLAbaCAcbLAca被断定,()CAbaCLAcbLAca被排斥。

    亚里士多德将三段论(∈)

    看作是自明的。

    他说:“因为所有的b必然是a或者不是a,而c是b中的一个,那末显然(R①参阅杨卢卡西维茨:《论亚里士多德模态三段论中的一个争论的问题》,W(One

    controversial

    Problemof

    Aristotles

    Modal

    Sylogistic)

    载《多米尼卡研究》,卷VⅡ,1954年,第14—128页。

    ②《前分析篇》,i。

    9,30a15—25,“也有这样的情况:当一个前提表达必然性,但不是任一前提,而是其中包含大项的前提,其结论是关于必然属于的。

    例如,如果断定A必然属于或不属于B,而B简单地属于C,而如果前提正是这样安排的,那末,A就必然地属于或不属于C“。

    (以下的语句我们将在下面的附注中引述)。

    “而如果前提AB不表达必然性,而BC表达必然性,那末,结论就不是关于必然属于的了”。

…… 269

    5。有一个必然前提和一个实然前提的各式A                                                                                             752

    α∈ρó)

    ,c也将必然是a或者不是a“

    ①。

    由于下面将要说到的F原因,用例子来表明这一点是困难的。
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